Projection orthogonale - Projeté orthogonal

Définition

Définition :
Soient $D$ une droite, $M$ un point et $D'$ l'unique droite perpendiculaire à $D$ passant par $M$
On note $${{P_D(M)}}:={{D\cap D'}}$$
Et on appelle projection orthogonale sur $D$ cette application

(Droite perpendiculaire, Intersection)

Soit $E$ un espace de Hilbert et $H$ un sous-espace vectoriel fermé de $E$
Pour tout élément $g\in E$, il existe un élément noté $\hat g\in H$ tel que $g-\hat g$ soit orthogonal à $H$
$\hat g$ s'appelle la projection orthogonale de $g$ sur $H$

Formule

Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs du plan ou de l'espace
Le projeté orthogonal de $\vec v$ sur $\vec u$ est le vecteur... $${{\operatorname{pr}_{\vec u}(\vec v)}}={{\frac{\vec u\cdot\vec v}{\lVert\vec u\rVert^2}\vec u}}$$

(Produit scalaire, Norme)

Propriétés

Proposition :
Soient $D_{A,\vec u}$ une droite et $\vec v$ l'un de ses vecteurs normaux
Alors $$P_D({{A+\lambda\vec u+\mu\vec v}})={{A+\lambda\vec u}}$$

Cas du point fixe

Proposition :
$$P_D(M)={{M}}\iff {{M\in D}}$$

Affine idempotente

Proposition :
Les projections orthogonales sont des applications affines idempotentes, i.e. $$P_D\circ P_D= P_D$$

Projection orthogonales sur des droites perpendiculaires sécantes

Proposition :
Si $D_1$ et $D_2$ sont deux droites perpendiculaires sécantes en $O$, alors $$P_{D_1}\circ P_{D_2}={{O=P_{D_2}\circ P_{D_1} }}$$ où $O$ désigne aussi l'application constante

Proposition (réciproque) :
$P_{D_1}$ et $P_{D_2}$ commutent si et seulement si $D_1\perp D_2$ ou $D_1=D_2$

(Droite perpendiculaire, //Matrices commutatives)

Exercices

Consigne: Soient $A$ un point et $\mathcal D$ une droite du plan. On rappelle que le projeté orthogonal $\pi_\mathcal D(A)$ de $A$ sur $\mathcal D$ est l'intersection de l'unique droite perpendiculaire à $\mathcal D$ passant par $A$
Exprimer les coordonnées du projeté $H$ en fonction de celles de $A$ et d'une équation de $\mathcal D$

On sait que $(AH)$ est dirigée par $\binom ab$
$\mathcal D$ est paramétrée par l'équation : $$ax+by+c=0\quad\text{ avec }\quad(a,b)\ne(0,0)$$
$(AH)$ est paramétrée par les équations : $$\begin{cases} x=at+x_A\\ y=bt+y_A\end{cases}\quad\text{ avec }\quad t\in{\Bbb R}$$

Comme $H\in\mathcal D$ : $$\begin{align}&ax_H+by_H+c=0\\ \iff& a(at_H+x_A)+b(bt_H+y_A)+c=0\\ \iff&(a^2+b^2)t_H+ax_A+by_A+c=0\\ \iff& t_H=\frac{-ax_A-by_A-c}{a^2+b^2}\\ \iff&\begin{cases} x_H=at_H+x_A\\ y_H=bt_H+y_A\end{cases}\\ \iff&\begin{cases} x_H=\cfrac{-a^2x_A-aby_A-ac+x_A(a^2+b^2)}{a^2+b^2}=\cfrac{b^2x_A-aby_A-ac}{a^2+b^2}\\ y_H=\cfrac{-abx_A-b^2y_A-bc+(a^2+b^2)y_A}{a^2+b^2}=\cfrac{-abx_A+a^2y_A-bc}{a^2+b^2}\end{cases}\end{align}$$

(Représentation cartésienne)

Consigne: Soient $A$ un point et $\mathcal D$ une droite du plan. On rappelle que le projeté orthogonal $\pi_\mathcal D(A)$ de $A$ sur $\mathcal D$ est l'intersection de l'unique droite perpendiculaire à $\mathcal D$ passant par $A$
On a : $$\begin{cases} x_H=\cfrac{-a^2x_A-aby_A-ac+x_A(a^2+b^2)}{a^2+b^2}=\cfrac{b^2x_A-aby_A-ac}{a^2+b^2}\\ y_H=\cfrac{-abx_A-b^2y_A-bc+(a^2+b^2)y_A}{a^2+b^2}=\cfrac{-abx_A+a^2y_A-bc}{a^2+b^2}\end{cases}$$ et $H$ réalise la distance de $A$ à $\mathcal D$
Montrer que $H$ réalise la distance de $A$ au demi-plan délimité par $\mathcal D$ et ne contenant pas $A$

Si $N$ est dans le demi-plan bordé par $\mathcal D$ qui ne contient pas $A$, alors $[AN]\cap\mathcal D=\{N\}$ et $AN\geqslant AN_0\geqslant AH$ (car $H$ réalise la distance de $A$ à $\mathcal D$)

Consigne: Soient $A$ un point et $\mathcal D$ une droite du plan. On rappelle que le projeté orthogonal $\pi_\mathcal D(A)$ de $A$ sur $\mathcal D$ est l'intersection de l'unique droite perpendiculaire à $\mathcal D$ passant par $A$
On a : $$\begin{cases} x_H=\cfrac{-a^2x_A-aby_A-ac+x_A(a^2+b^2)}{a^2+b^2}=\cfrac{b^2x_A-aby_A-ac}{a^2+b^2}\\ y_H=\cfrac{-abx_A-b^2y_A-bc+(a^2+b^2)y_A}{a^2+b^2}=\cfrac{-abx_A+a^2y_A-bc}{a^2+b^2}\end{cases}$$ et $H$ réalise la distance de $A$ à $\mathcal D$ et $H$ réalise la distance de $A$ au demi-plan délimité par $\mathcal D$ et ne contenant pas $A$
Étant donné deux points $B,C\in\mathcal D$, quel est le point qui réalise la distance de $A$ au segment $[BC]$ ?

- Si $H\in[BC]$, il réalise la distance
- Si $B\in[HC]$, c'est $B$
- Si $C\in[HB]$, c'est $C$

Math'φsics